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本文将介绍R中可用于投资组合优化的不同求解器。

通用求解器

通用求解器可以处理任意的非线性优化问题，但代价可能是收敛速度慢。

默认包

包stats（默认安装的基本R包）提供了几个通用的优化程序。

optimize()。用于区间内的一维无约束函数优化（对于一维求根，使用uniroot()）。

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optim()通用优化，有六种不同的优化方法。

Nelder-Mead：相对稳健的方法（默认），不需要导数。

CG：适用于高维无约束问题的低内存优化

BFGS：简单的无约束的准牛顿方法

L-BFGS-B：用于边界约束问题的优化

SANN: 模拟退火法

Brent: 用于一维问题（实际上是调用optimize()）。

这个例子做了一个最小二乘法拟合：最小化

下一个例子说明了梯度的使用，著名的Rosenbrock香蕉函数：

，梯度

，无约束最小化问题

optim(c(-1.2, 1), f, gr, method = "BFGS")

下面的例子使用了界约束。

最小化

约束：

这个例子使用模拟退火法（用于全局优化）。

constrOptim()。使用自适应约束算法，在线性不等式约束下最小化一个函数（调用optim()）。

nlm(): 这个函数使用牛顿式算法进行目标函数的最小化。

nlminb(): 进行无界约束优化。.

optim

基础函数optim()作为许多其他求解器的包，可以方便地使用和比较。

全局优化

全局优化与局部优化的理念完全不同（全局优化求解器通常被称为随机求解器，试图避免局部最优点）。

特定类别问题的求解器

如果要解决的问题属于某一类问题，如LS、LP、MILP、QP、SOCP或SDP，那么使用该类问题的专用求解器会更好。

最小二乘法 (LS)

线性最小二乘法（LS）问题是将最小化，可能有界或线性约束。

线性规划(LP)

函数solveLP()，可以方便地解决以下形式的LP：

最小化：

约束：

混合整数线性规划 (MILP)

lpSolve（比linprog快得多，因为它是用C语言编码的）可以解决线性混合整数问题（可能带有一些整数约束的LP）。

solution

二次规划 (QP)

可以方便地解决以下形式的QP

解决具有绝对值约束和目标函数中的绝对值的二次规划。

二阶锥规划 (SOCP)

有几个包:

ECOSolveR提供了一个与嵌入式COnic Solver（ECOS）的接口，这是一个著名的、高效的、稳健的C语言库，用于解决凸问题。

CLSOCP提供了一个用于解决SOCP问题的一步平滑牛顿方法的实现。

优化基础

我们已经看到了两个包，它们是许多其他求解器的包。

用于凸问题、MIP和非凸问题

ROI包为处理R中的优化问题提供了一个框架。它使用面向对象的方法来定义和解决R中的各种优化任务，这些任务可以来自不同的问题类别（例如，线性、二次、非线性规划问题）。

LP – 考虑 LP:

最大化:

约束：

MILP – 考虑先前的LP，并通过添加约束条件x2,x3∈Z使其成为一个MILP.

BLP – 考虑二元线性规划 (BLP):

最小化：

约束：

SOCP – 考虑SOCP:

最大化:

约束:

并注意到SOC约束 可以写成或 ，在代码中实现为：。

SDP--考虑SDP:

最小化：

约束：

并注意SDP约束可以写成（大小为3是因为在我们的问题中，矩阵为2×2，但vech()提取了3个独立变量，因为矩阵是对称的）。

NLP – 考虑非线性规划(NLP)

最大化

约束

凸优化

R为凸优化提供了一种面向对象的建模语言。它允许用户用自然的数学语法来制定凸优化问题，而不是大多数求解器所要求的限制性标准形式。通过使用具有已知数学特性的函数库，结合常数、变量和参数来指定目标和约束条件集。现在让我们看看几个例子。

最小二乘法 – 让我们从一个简单的LS例子开始：最小化

当然，我们可以使用R的基础线性模型拟合函数lm()。

用CVXR来做

我们现在可以很容易地添加一个限制条件来解决非负的LS。

稳健的Huber回归 - 让我们考虑稳健回归的简单例子：

最小化

其中

弹性网正则化 - 我们现在要解决的问题是：最小化

稀疏逆协方差矩阵--考虑矩阵值的凸问题：最大化，条件是

协方差--考虑矩阵值的凸问题：在的条件下，最大化。

投资组合优化--考虑马科维茨投资组合设计：最大化，

结论

R语言中可用的求解器的数量很多。建议采取以下步骤。

如果是凸优化问题，那么开始进行初步测试。

如果速度不够快，使用ROI。

如果仍然需要更快的速度，那么如果问题属于定义好的类别之一，则使用该类别专用的求解器（例如，对于LP，推荐使用lpSolve，对于QP则使用quadprog）。

然而，如果问题不属于任何类别，那么就必须使用非线性优化的一般求解器。在这个意义上，如果一个局部的解决方案就够了，那么可以用许多求解器的包。如果需要全局求解器，那么软件包gloptim是一个不错的选择，它是许多全局求解器的包。

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